Este contenido reúne los conceptos cuantitativos que sirven de base para leer correctamente las cifras que se manejan en el mercado. Constituye conocimiento técnico: no habilita al Digitador a recomendar, perfilar clientes ni evaluar idoneidad, funciones ajenas a su rol operativo de ingresar ofertas, demandas y posturas siguiendo instrucciones. Su utilidad práctica es entender la nomenclatura de tasas y valores para digitar sin errores.
Equivalencia de tasas. Una tasa periódica se convierte en efectiva anual con i_ea = (1 + i_periódica)^n − 1, donde n es el número de periodos que caben en el año; la conversión inversa usa la raíz n-ésima. Una tasa mes vencido equivale a una efectiva mensual. La nominal se interpreta por su nomenclatura: un 12% nominal anual trimestre vencido se reparte en cuatro periodos del 3%, cuya capitalización da (1,03)^4 − 1 = 12,55% efectivo anual. La tasa anticipada es una forma comercial de expresar la vencida, pues el interés siempre se paga vencido: i_v = i_a / (1 − i_a).
Anualidades. En una anualidad vencida los pagos ocurren al final de cada periodo y la capitalización de la tasa debe coincidir con la frecuencia de pago: el valor futuro es A × [((1+i)^n − 1)/i] y el valor presente A × [(1 − (1+i)^-n)/i]. En las diferidas el primer pago se aplaza, se valora la serie en su origen y ese resultado se descuenta al momento cero. El IPC y la UVR (Ley 546 de 1999) son los referentes usuales de indexación en el mercado colombiano.
1. Se comparan dos alternativas de inversión pactadas a la misma tasa nominal anual y a un plazo de tres años: la alternativa X liquida interés simple y la alternativa Y liquida interés compuesto con capitalización anual. Si el capital permanece invertido los tres años sin retirar intereses, ¿qué se cumple respecto del monto final acumulado en cada alternativa?
A un plazo superior a un periodo de capitalización se cumple que (1+i)^3 > 1+3i, de modo que el interés compuesto acumula más que el simple. La igualdad de tasas nominales no implica igualdad de montos, porque solo el régimen compuesto capitaliza. (Matemática financiera estándar — interés simple e interés compuesto.)
2. Se calculó que un proyecto de inversión tiene una TIR de 18% E.A. La tasa mínima de retorno exigida para proyectos de ese nivel de riesgo es del 20% E.A. Según la regla de decisión estándar basada en la TIR, ¿qué decisión corresponde frente al proyecto?
Como la TIR (18% E.A.) es menor que la tasa mínima exigida (20% E.A.), el proyecto se rechaza. Descontar al 20% arrojaría precisamente un VPN negativo, ya que el VPN solo se anula al 18%. (Matemática financiera estándar — Tasa Interna de Retorno (TIR).)
3. Una inversión se ofrece a una tasa nominal anual trimestre vencido (N.A.T.V.) del 24%. ¿Cuál es la tasa efectiva anual (E.A.) equivalente?
La tasa periódica trimestral es 24%/4 = 6% T.V., y al capitalizarla cuatro veces (1,06)^4 − 1 se obtiene 26,25% E.A.; 26,82% surge de capitalizar 12 periodos mensuales en lugar de 4 trimestrales, y 24,00% confunde la tasa nominal con la efectiva. (Matemática financiera estándar — equivalencia de tasas de interés (nominal, efectiva anual, anticipada y vencida).)
4. Una captación se indexa a DTF + 2%, T.A., partiendo de una DTF supuesta de 4,45% T.A. Sabiendo que la DTF se cotiza como tasa nominal anual trimestre anticipado y que el spread se expresa en los mismos términos de capitalización, ¿cuál es la tasa nominal total resultante de la captación?
Como la DTF y el spread son tasas nominales expresadas en el mismo periodo de capitalización (T.A.), basta con sumarlas: 4,45% + 2% = 6,45% T.A.; rotular ese resultado como E.A. omite las conversiones de anticipada a vencida y la posterior anualización. (Banco de la República — Resolución Externa 17 de 1993 (definición y publicación de la DTF).)
5. Una captación se pacta a DTF + 2%, T.A., con una DTF supuesta de 4,45% T.A., y se trabaja en convención base 360. La tasa nominal total de 6,45% T.A. arroja una periódica anticipada de 1,6125% T.A., que convertida a vencida equivale a 1,6389% T.V. ¿Cuál es la tasa efectiva anual (E.A.) que resulta de este procedimiento?
Al capitalizar (1 + 1,6389%)^(360/90) − 1 se obtiene 6,72% E.A.; 6,61% resulta de omitir la conversión de anticipada a vencida y 6,82% de usar por error la convención base 365 en lugar de base 360. (Banco de la República — Resolución Externa 17 de 1993 (definición y publicación de la DTF).)
6. Una captación indexada se publica indicando únicamente 'DTF T.A.'. Según la convención del mercado colombiano, ¿qué significa exactamente esa cotización?
Lo que se cotiza abreviadamente como 'DTF T.A.' significa en realidad DTF N.A.T.A., por lo que debe dividirse entre cuatro para hallar la periódica anticipada; leerla como N.A.T.V. suprime el paso de conversión de anticipada a vencida. (Banco de la República — Resolución Externa 17 de 1993 (definición y publicación de la DTF).)
7. Un crédito se pacta a IBR + 6,5% T.V., con un IBR supuesto de 4,115% nominal mes vencido (N.M.V.), que al convertirse a nominal trimestre vencido equivale aproximadamente a 4,13% N.T.V. ¿Cuál es la tasa nominal total del crédito, expresada en términos trimestre vencido (N.T.V.)?
La tasa nominal total se obtiene sumando el IBR convertido (4,13%) y el spread (6,5%): 10,63% N.T.V.; 11,06% corresponde en realidad a la tasa efectiva anual equivalente, no a la nominal trimestre vencido. (Banco de la República — esquema del Indicador Bancario de Referencia (IBR).)
8. Una operación se pacta a una tasa de interés del 4% trimestre anticipado (T.A.). ¿Cuál es la tasa vencida equivalente para el mismo periodo trimestral?
Aplicando i_v = i_a / (1 − i_a) = 0,04 / 0,96 se obtiene 4,17% T.V.; asumir que la tasa no cambia (4,00%) o dividir por (1 + i_a) para llegar a 3,85% son los errores frecuentes. (Matemática financiera estándar — equivalencia de tasas de interés (nominal, efectiva anual, anticipada y vencida).)
9. Se comparan dos alternativas de inversión en valores de renta fija para un mismo plazo: la primera cotizada en tasa vencida y la segunda en tasa anticipada, ambas con la misma tasa nominal aparente. Para determinar correctamente cuál ofrece el mayor rendimiento financiero real, el procedimiento correcto es:
Como las tasas anticipada y vencida no son numéricamente comparables sin conversión, deben llevarse a una misma base antes de contrastarlas; ambas modalidades son válidas y de uso corriente en el mercado. (Matemática financiera estándar — equivalencia de tasas de interés (nominal, efectiva anual, anticipada y vencida).)
10. Un inversionista realiza doce aportes mensuales vencidos de COP$ 1.000.000 cada uno, efectuados el último día de cada mes, en una alternativa que reconoce una tasa del 1% mensual. ¿Cuál es el valor futuro acumulado de esos aportes al finalizar el aporte número doce?
Aplicando VF = A × [((1+i)^n − 1)/i] con A = 1.000.000, i = 1% y n = 12 se obtiene COP$ 12.682.503; sumar los aportes sin interés (12.000.000) o usar n = 13 (13.809.300) son errores típicos. (Matemática financiera estándar — anualidades (valor presente y valor futuro de anualidades ordinarias y diferidas).)
11. Un plan de ahorro programado exige doce pagos mensuales vencidos de COP$ 2.000.000 cada uno, descontados a una tasa del 2% mensual. ¿Cuál es el valor presente de esta serie de pagos?
Aplicando VP = A × [(1 − (1+i)^-n)/i] con A = 2.000.000, i = 2% y n = 12 se obtiene COP$ 21.150.682; usar la fórmula de valor futuro (26.824.200) o sumar los pagos sin descontar (24.000.000) son errores frecuentes. (Matemática financiera estándar — anualidades (valor presente y valor futuro de anualidades ordinarias y diferidas).)
12. Se proyecta el flujo de un ahorrador que realizará doce depósitos mensuales iguales, el primero el mismo día en que abre la cuenta (hoy) y el último once meses después. Por error, se aplica la fórmula de valor futuro de la anualidad ordinaria vencida (VF = A × [((1+i)^n − 1)/i]) para proyectar el saldo al final del mes doce. ¿Cuál es la consecuencia de este error?
Como en la anualidad anticipada cada depósito se realiza un periodo antes que en la vencida, cada pago capitaliza un periodo adicional de interés, de modo que aplicar la fórmula de la anualidad vencida subestima el valor futuro real en un factor (1+i). (Matemática financiera estándar — anualidades (valor presente y valor futuro de anualidades ordinarias y diferidas).)
13. Una compañía de leasing recibe cánones mensuales vencidos durante 24 meses por un valor fijo cada uno, descontados a la tasa de interés pactada en el contrato. Para calcular el valor presente de esa serie de cánones, ¿qué fórmula de la matemática financiera debe aplicarse?
Al tratarse de una serie finita de pagos vencidos, corresponde aplicar la fórmula de valor presente de la anualidad ordinaria vencida; la fórmula de perpetuidad supone pagos infinitos y la de valor futuro responde a una pregunta distinta. (Matemática financiera estándar — anualidades (valor presente y valor futuro de anualidades ordinarias y diferidas).)
14. Un CDT ofrece una tasa de interés del 5% trimestre anticipado (T.A.). Aplicando la convención de que todos los intereses se pagan de manera vencida, ¿cuál es la tasa trimestre vencido (T.V.) equivalente?
Aplicando i_v = i_a/(1−i_a) = 0,05/0,95 = 5,26% T.V.; asumir que la anticipada y la vencida son iguales (5,00%) ignora que los intereses siempre se pagan de manera vencida, y 4,76% resulta de dividir por (1+i_a) en lugar de (1−i_a). (Matemática financiera estándar — equivalencia de tasas de interés (nominal, efectiva anual, anticipada y vencida).)
15. En un comisionista de bolsa se analiza un título que ofrece DTF + 2%, con la DTF vigente en 4,45% T.A. (trimestre anticipado). Sabiendo que el spread se expresa en los mismos términos de capitalización nominal que la DTF, la tasa nominal total resultante es de:
Como el spread y la DTF están expresados en los mismos términos nominales (T.A.), basta con sumarlos: 4,45% + 2% = 6,45% T.A.; esa suma sigue siendo una tasa nominal anticipada, no una tasa efectiva anual, hasta completar la conversión. (Banco de la República — Resolución Externa 17 de 1993 (definición y publicación de la DTF).)
16. Un TES se valora aplicando la convención de base 365 días. Si faltan 200 días para el vencimiento del título y la tasa de descuento pactada es 5,75% E.A., ¿cuál de las siguientes expresiones corresponde al factor de descuento por el que debe dividirse el valor de vencimiento para obtener el precio de hoy?
Con la convención base 365 se descuenta el número exacto de días dividiendo por el factor (1 + i)^(días/365), es decir (1 + 5,75%)^(200/365); invertir el exponente (365/200) o usar base 360 no corresponde a la convención declarada en el enunciado. (Matemática financiera estándar — equivalencia de tasas de interés (nominal, efectiva anual, anticipada y vencida).)
17. En un plan de retiros, los primeros seis meses no generan ningún retiro y los retiros mensuales vencidos empiezan a partir del séptimo mes. En términos de matemáticas financieras, este flujo corresponde a:
Si los retiros inician en el mes 7, los meses 1 a 6 son de gracia, es decir, 6 periodos de diferimiento, pues el número de periodos de gracia es siempre uno menos que el periodo del primer pago. (Matemática financiera estándar — anualidades (valor presente y valor futuro de anualidades ordinarias y diferidas).)
18. Un producto de ahorro reconoce una tasa nominal del 24% N.A.M.V. (nominal anual mes vencido). Se realizarán 6 depósitos mensuales vencidos de COP$1.000.000 cada uno, pero el primer depósito solo se hará dentro de 4 meses. ¿Cuál es la tasa periódica mensual que debe emplearse para valorar esta anualidad diferida?
Una tasa nominal anual mes vencido (N.A.M.V.) se convierte a periódica dividiendo entre los 12 periodos del año: 24%/12 = 2% M.V.; tratar el 24% como si fuera una tasa efectiva anual para hallar la periódica equivalente (1,81%) confunde el tipo de tasa declarado en el enunciado. (Matemática financiera estándar — anualidades (valor presente y valor futuro de anualidades ordinarias y diferidas).)
19. Se estructura una anualidad diferida con periodo de gracia de 12 meses. Si se reduce el periodo de gracia a la mitad, sin modificar el monto de los pagos ni la tasa de interés pactada, el efecto correcto sobre el valor presente en el periodo cero es que:
Al reducir el periodo de gracia, los pagos se descuentan durante menos periodos, por lo que su valor presente aumenta; el número y el monto de los pagos no cambian, solo el momento en que empiezan. (Matemática financiera estándar — anualidades (valor presente y valor futuro de anualidades ordinarias y diferidas).)
20. El profesional certificado evalúa una alternativa de inversión cuyos flujos de caja netos, descontados a la tasa de oportunidad exigida, arrojan un VPN de COP$ -8.500.000. Según el criterio de decisión del VPN, ¿qué corresponde hacer con esta alternativa?
Un VPN negativo indica que el proyecto rinde por debajo de la tasa mínima exigida, por lo que el criterio de decisión ordena rechazarlo; el signo negativo no refleja la inversión inicial, pues esta ya está incorporada en el cálculo. (Matemática financiera estándar — Valor Presente Neto (VPN).)
21. Se debe seleccionar entre dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes, calculados a la misma tasa de oportunidad. El Proyecto X tiene un VPN de COP$ 22.000.000 y el Proyecto Y un VPN de COP$ 14.773.159. Según el criterio del VPN, ¿cuál proyecto debe seleccionarse?
Entre proyectos mutuamente excluyentes con VPN positivo debe elegirse el de mayor VPN, porque es el que agrega más valor: en este caso el Proyecto X. No pueden aceptarse ambos, precisamente por ser excluyentes. (Matemática financiera estándar — regla del VPN para proyectos mutuamente excluyentes.)
22. Para aproximar el rendimiento real de una inversión, se relaciona la tasa de interés nominal pactada con la variación del IPC del mismo periodo, de modo que (1 + tasa nominal) = (1 + tasa real) × (1 + IPC). ¿Qué relación de matemáticas financieras describe este cálculo?
La ecuación (1 + nominal) = (1 + real) × (1 + IPC) corresponde a la relación de Fisher entre tasa nominal, tasa real e inflación. No debe confundirse con la conversión de periodicidad de tasas, que relaciona una tasa periódica con su efectiva anual y no involucra la inflación. (Irving Fisher, The Theory of Interest (1930) — relación entre tasa nominal, tasa real e inflación; DANE — IPC)
23. Un TES denominado en UVR combina un cupón real con la variación de la UVR, que refleja la variación del IPC. Aplicando la convención de composición (1 + tasa nominal) = (1 + cupón real) × (1 + IPC), si el cupón real pactado es del 3,00% y la variación del IPC certificada por el DANE para el periodo fue del 5,80%, ¿cuál es la tasa nominal del título en dicho periodo?
Componiendo (1,03) × (1,058) − 1 se obtiene 8,97% de tasa nominal. Sumar simplemente las dos tasas (8,80%) omite el término cruzado de la composición, y tomar solo el IPC (5,80%) ignora el cupón real. (Ley 546 de 1999, art. 3 (UVR basada en el IPC); Banco de la República — TES denominados en UVR; relación de Fisher entre tasa nominal, tasa real e inflación)
ExamenAMV · Temario · Guía del examen · Preguntas de ejemplo