Quien opera en la rueda de la Bolsa Mercantil de Colombia calcula rendimientos sobre operaciones de físicos y sobre instrumentos como los repos con CDM (Certificado de Depósito de Mercancías) y las facturas electrónicas negociadas en el MCP; dominar la conversión de tasas evita errores de cotización frente al comitente.
Conversión de tasas. Una tasa periódica se lleva a efectiva anual con i_efectiva = (1 + i_periódica)^n − 1, donde n es el número de periodos que caben en el año; el camino inverso usa i_periódica = (1 + i_efectiva)^(1/n) − 1. La nominal se interpreta por su nomenclatura: 12% N.A.T.V. equivale a 3% trimestre vencido, y (1,03)^4 − 1 = 12,55% E.A. La tasa anticipada solo expresa comercialmente una vencida, pues todo interés se paga vencido: i_v = i_a/(1 − i_a).
Valor presente neto (VPN). VPN(i) = Σ F_k/(1+i)^k descuenta todos los flujos netos a la tasa de oportunidad, incluido el del periodo cero, con ingresos positivos y egresos negativos. Si el VPN es cero o positivo la operación renta al menos lo exigido y se acepta; si es negativo se rechaza.
Tasa interna de retorno (TIR). Es la tasa que hace el VPN igual a cero; se acepta la operación cuando la TIR iguala o supera la rentabilidad mínima requerida. Se estima acotando la raíz entre dos tasas de VPN de signo opuesto e interpolando, y su periodicidad coincide con la del flujo. Como supone reinversión a la misma TIR, cuando se conoce la tasa real de reinversión se emplea la TIR modificada.
Anualidades. Para series de pagos iguales, el valor futuro es VF = A × [((1+i)^n − 1)/i] y el valor presente VP = A × [(1 − (1+i)^−n)/i], siempre que la capitalización de la tasa coincida con la frecuencia del pago; en las diferidas el primer pago se aplaza y su valor se descuenta al momento cero. El IPC y la UVR sirven de referentes de indexación.
El marco de estas operaciones está en la Ley 964 de 2005, el Decreto 2555 de 2010, el Reglamento de AMV, el Reglamento de la BMC y su Circular Única (CUB); recuérdese que los CDM se inscriben en el RNVE.
1. Para efectos de comparación se evalúan dos operaciones pactadas a la misma tasa nominal anual y a un plazo de tres años: la alternativa X liquida interés simple y la alternativa Y liquida interés compuesto con capitalización anual. Si los recursos del comitente permanecen invertidos los tres años sin retirar intereses, ¿qué se cumple respecto al monto final acumulado en cada alternativa?
A un plazo superior a un periodo de capitalización se cumple que (1+i)^3 > 1+3i, de modo que el interés compuesto acumula más que el simple. La igualdad de tasas nominales no implica igualdad de montos, porque solo el régimen compuesto capitaliza. (Matemática financiera estándar — interés simple e interés compuesto.)
2. Una operación pacta una tasa de interés del 3% trimestre anticipado (T.A.). Aplicando la equivalencia i_v = i_a / (1 − i_a), ¿cuál es la tasa trimestre vencido (T.V.) equivalente?
i_v = i_a/(1 − i_a) = 0,03/0,97 = 3,0928% T.V. El 2,9126% resulta de dividir por (1+i_a), es decir, de aplicar la conversión en sentido contrario. (Convención estándar de equivalencia de tasas de interés (periódica, nominal, efectiva, vencida y anticipada); matemática financiera de uso general en el mercado colombiano.)
3. Para efectos de este ejercicio, una operación de repo sobre CDM pacta una tasa del 30% semestre vencido (S.V.). Aplicando la equivalencia i_a = i_v / (1 + i_v), ¿cuál es la tasa semestre anticipado (S.A.) equivalente?
i_a = i_v/(1 + i_v) = 0,30/1,30 = 23,0769% S.A. El 42,8571% proviene de aplicar por error la fórmula inversa i_v/(1−i_v), que convierte de anticipada a vencida y no al contrario. (Convención estándar de equivalencia de tasas de interés (periódica, nominal, efectiva, vencida y anticipada); matemática financiera de uso general en el mercado colombiano.)
4. Una operación paga 12% N.A.T.V. (nominal anual trimestre vencido). Si se divide la tasa nominal entre los cuatro periodos del año y se capitaliza el resultado, ¿cuál es la tasa efectiva anual (E.A.) equivalente?
12%/4 = 3% T.V. y (1,03)^4 − 1 = 12,55% E.A. Responder 12,00% equivale a confundir la tasa nominal con la efectiva, omitiendo la capitalización de los cuatro trimestres. (Convención estándar de equivalencia de tasas de interés (periódica, nominal, efectiva, vencida y anticipada); matemática financiera de uso general en el mercado colombiano.)
5. Para descontar una factura electrónica negociada en la Bolsa Mercantil de Colombia, a la que le faltan 120 días para su vencimiento, se emplea la convención de base 365 y una tasa efectiva anual de 6,25% E.A. ¿Cuál es el factor por el cual debe dividirse el valor al vencimiento para obtener su valor de hoy?
La convención base 365 eleva la tasa efectiva anual al exponente días/365, esto es 120/365. Usar 120/360 aplica la base 360, que no es la convención declarada para esta operación. (Metodología estándar de descuento y capitalización por número exacto de días (convención base 365); matemática financiera de uso general en el mercado colombiano.)
6. Una operación se pacta a DTF T.A. más un spread de 3% T.A. Como lo que los bancos cotizan comercialmente como 'DTF T.A.' corresponde en realidad a DTF N.A.T.A. y el spread se expresa en los mismos términos nominales, ¿cómo debe obtenerse la tasa nominal total de la operación?
Al ser ambas tasas nominales expresadas en los mismos términos (T.A.), basta con sumarlas para obtener la tasa nominal total. Convertir la DTF a efectiva antes de sumar mezclaría una tasa efectiva con una nominal, lo que no es válido. (Banco de la República — DTF (Resolución Externa 17 de 1993) e Indicador Bancario de Referencia (IBR).)
7. Una operación ofrece DTF más 1,5%, suponiendo para este ejercicio una DTF de 5,20% T.A. y bajo la convención base 360. La tasa nominal total T.A. es 6,70%, la tasa periódica anticipada trimestral es 1,6750% T.A. y su equivalente vencida es 1,7035% T.V. Capitalizando esta última con exponente 360/90, ¿cuál es la tasa efectiva anual (E.A.) resultante?
(1 + 1,7035%)^(360/90) − 1 = 6,99% E.A. Capitalizar la periódica anticipada sin convertirla antes a vencida arroja 6,87%, y quedarse con la nominal total sin capitalizar arroja 6,70%. (Banco de la República, DTF (Resolución Externa 17 de 1993); metodología estándar de conversión de tasa nominal anticipada a efectiva anual (base 360).)
8. Una operación de crédito hipotética se pacta a IBR más 4,0% T.V. Para efectos de este ejercicio se asume un IBR de 5,40% nominal mes vencido (N.M.V.), que al convertirlo a efectiva anual y luego a nominal trimestre vencido equivale a 5,4243% N.T.V. ¿Cuál es la tasa nominal trimestre vencido (N.T.V.) total de la operación?
La tasa nominal total suma el IBR ya convertido a N.T.V. (5,4243%) más el spread de 4,0% T.V.: 9,4243% N.T.V. Sumar el 5,40% N.M.V. sin convertirlo (9,4000%) mezclaría periodicidades distintas. (Banco de la República, esquema del Indicador Bancario de Referencia (IBR); metodología estándar de conversión de tasas nominales vencidas a efectiva anual.)
9. Continuando con la operación de crédito hipotética pactada a IBR más 4,0% T.V., cuya tasa nominal total asumida es 9,4243% N.T.V., ¿cuál es la tasa efectiva anual (E.A.) equivalente de esa operación?
La periódica es 9,4243%/4 = 2,3561% T.V. y (1+2,3561%)^4 − 1 = 9,7627% E.A. Reportar 9,4243% E.A. confunde la tasa nominal trimestre vencido con la efectiva anual, que siempre es mayor al capitalizar. (Banco de la República, esquema del Indicador Bancario de Referencia (IBR); metodología estándar de conversión de tasas nominales vencidas a efectiva anual.)
10. Una operación de captación se cotiza a una tasa nominal anual trimestre vencido (N.A.T.V.) del 24%. ¿Cuál es la tasa efectiva anual (E.A.) equivalente?
La tasa periódica trimestral es 24%/4 = 6% T.V., y al capitalizarla cuatro veces (1,06)^4 − 1 se obtiene 26,25% E.A.; 26,82% surge de capitalizar 12 periodos mensuales en lugar de 4 trimestrales, y 24,00% confunde la tasa nominal con la efectiva. (Matemática financiera estándar — equivalencia de tasas de interés (nominal, efectiva anual, anticipada y vencida).)
11. Una operación de captación se pacta a una tasa de DTF + 2%, T.A., cuando la DTF vigente es 4,45% T.A. Sabiendo que la DTF se cotiza como tasa nominal anual trimestre anticipado y que el spread se expresa en los mismos términos de capitalización, ¿cuál es la tasa nominal total resultante de la captación?
Como la DTF y el spread son tasas nominales expresadas en el mismo periodo de capitalización (T.A.), basta con sumarlas: 4,45% + 2% = 6,45% T.A.; rotular ese resultado como E.A. omite las conversiones de anticipada a vencida y la posterior anualización. (Banco de la República — Resolución Externa 17 de 1993 (definición y publicación de la DTF).)
12. Una entidad publica la tasa de una captación indexada indicando únicamente 'DTF T.A.'. Según la convención del mercado colombiano, ¿qué significa exactamente esa cotización?
Lo que se cotiza abreviadamente como 'DTF T.A.' significa en realidad DTF N.A.T.A., por lo que debe dividirse entre cuatro para hallar la periódica anticipada; leerla como N.A.T.V. suprime el paso de conversión de anticipada a vencida. (Banco de la República — Resolución Externa 17 de 1993 (definición y publicación de la DTF).)
13. El IBR se publica, entre otras modalidades, en términos nominales con capitalización mes vencido, trimestre vencido y semestre vencido. Cuando una operación se pacta a IBR + spread y ambas tasas se expresan en el mismo periodo de capitalización, ¿cómo se obtiene la tasa nominal total de la operación?
Al estar expresadas en el mismo periodo de capitalización nominal, el IBR y el spread se suman directamente; convertir antes a E.A. o a tasa diaria son pasos innecesarios que alteran el resultado. (Banco de la República — esquema del Indicador Bancario de Referencia (IBR).)
14. Una operación se pacta a IBR + 6,5% T.V., con IBR vigente de 4,115% nominal mes vencido (N.M.V.), que al convertirse a nominal trimestre vencido equivale aproximadamente a 4,13% N.T.V. ¿Cuál es la tasa nominal total de la operación, expresada en términos trimestre vencido (N.T.V.)?
La tasa nominal total se obtiene sumando el IBR convertido (4,13%) y el spread (6,5%): 10,63% N.T.V.; 11,06% corresponde en realidad a la tasa efectiva anual equivalente, no a la nominal trimestre vencido. (Banco de la República — esquema del Indicador Bancario de Referencia (IBR).)
15. Para anualizar la rentabilidad de un repo sobre CDM entre la fecha de compra y la fecha de venta, contando los días calendario exactos transcurridos bajo convención base 365, ¿cuál es la fórmula correcta de la tasa efectiva anual?
La tasa efectiva anual se obtiene elevando la relación de precios al exponente 365/días; invertir el exponente, invertir la razón de precios o usar interés simple son errores típicos. (Matemática financiera estándar — equivalencia de tasas de interés (nominal, efectiva anual, anticipada y vencida).)
16. Un repo sobre CDM se valora a un plazo de 76 días utilizando una tasa efectiva anual del 5,48% bajo convención base 365. ¿Cuál es el factor de capitalización que debe aplicarse al valor presente de la operación para hallar su valor futuro a los 76 días?
Bajo convención base 365, el valor futuro se obtiene elevando (1 + i E.A.) al exponente días/365; invertir el exponente, capitalizar diariamente una E.A. como si fuera nominal o usar interés simple son los errores más comunes en este cálculo. (Matemática financiera estándar — equivalencia de tasas de interés (nominal, efectiva anual, anticipada y vencida).)
17. Una operación se cotiza a una tasa de interés del 4% trimestre anticipado (T.A.). ¿Cuál es la tasa vencida equivalente para el mismo periodo trimestral?
Aplicando i_v = i_a / (1 − i_a) = 0,04 / 0,96 se obtiene 4,17% T.V.; asumir que la tasa no cambia (4,00%) o dividir por (1 + i_a) para llegar a 3,85% son los errores frecuentes. (Matemática financiera estándar — equivalencia de tasas de interés (nominal, efectiva anual, anticipada y vencida).)
18. El área de tesorería de una sociedad comisionista debe evaluar dos alternativas de captación de recursos para el mismo plazo: la primera cotizada en tasa vencida y la segunda en tasa anticipada, ambas con la misma tasa nominal aparente. Para comparar correctamente el rendimiento financiero real de las dos alternativas, el analista debe:
Como las tasas anticipada y vencida no son numéricamente comparables sin conversión, deben llevarse a una misma base antes de compararlas; ambas modalidades son válidas y de uso corriente en el mercado. (Matemática financiera estándar — equivalencia de tasas de interés (nominal, efectiva anual, anticipada y vencida).)
19. Un comitente realiza doce aportes mensuales vencidos de COP$ 1.000.000 cada uno a una cuenta, efectuados el último día de cada mes, en una alternativa que reconoce una tasa del 1% mensual. ¿Cuál es el valor futuro acumulado de esos aportes al finalizar el aporte número doce?
Aplicando VF = A × [((1+i)^n − 1)/i] con A = 1.000.000, i = 1% y n = 12 se obtiene COP$ 12.682.503; sumar los aportes sin interés (12.000.000) o usar n = 13 (13.809.300) son errores típicos. (Matemática financiera estándar — anualidades (valor presente y valor futuro de anualidades ordinarias y diferidas).)
20. Un plan de pagos programados exige doce pagos mensuales vencidos de COP$ 2.000.000 cada uno, descontados a una tasa del 2% mensual. ¿Cuál es el valor presente de esta serie de pagos?
Aplicando VP = A × [(1 − (1+i)^-n)/i] con A = 2.000.000, i = 2% y n = 12 se obtiene COP$ 21.150.682; usar la fórmula de valor futuro (26.824.200) o sumar los pagos sin descontar (24.000.000) son errores frecuentes. (Matemática financiera estándar — anualidades (valor presente y valor futuro de anualidades ordinarias y diferidas).)
21. El área de análisis de una sociedad comisionista proyecta el flujo de doce depósitos mensuales iguales, el primero el mismo día en que se abre la cuenta (hoy) y el último once meses después. Por error, aplica la fórmula de valor futuro de la anualidad ordinaria vencida (VF = A × [((1+i)^n − 1)/i]) para proyectar el saldo al final del mes doce. ¿Cuál es la consecuencia de este error?
Como en la anualidad anticipada cada depósito se realiza un periodo antes que en la vencida, cada pago capitaliza un periodo adicional de interés, de modo que aplicar la fórmula de la anualidad vencida subestima el valor futuro real en un factor (1+i). (Matemática financiera estándar — anualidades (valor presente y valor futuro de anualidades ordinarias y diferidas).)
22. Una operación pacta pagos mensuales vencidos durante 24 meses por un valor fijo cada uno, descontados a la tasa de interés acordada. Para calcular el valor presente de esa serie de pagos, ¿qué fórmula de la matemática financiera debe aplicar el analista?
Al tratarse de una serie finita de pagos vencidos, corresponde aplicar la fórmula de valor presente de la anualidad ordinaria vencida; la fórmula de perpetuidad supone pagos infinitos y la de valor futuro responde a una pregunta distinta. (Matemática financiera estándar — anualidades (valor presente y valor futuro de anualidades ordinarias y diferidas).)
23. Una operación de captación reconoce una tasa de interés del 5% trimestre anticipado (T.A.). Aplicando la convención de que todos los intereses se pagan de manera vencida, ¿cuál es la tasa trimestre vencido (T.V.) equivalente?
Aplicando i_v = i_a/(1−i_a) = 0,05/0,95 = 5,26% T.V.; asumir que la anticipada y la vencida son iguales (5,00%) ignora que los intereses siempre se pagan de manera vencida, y 4,76% resulta de dividir por (1+i_a) en lugar de (1−i_a). (Matemática financiera estándar — equivalencia de tasas de interés (nominal, efectiva anual, anticipada y vencida).)
24. Un título reconoce una tasa de interés del 20% semestre vencido (S.V.). ¿Cuál es la tasa semestre anticipado (S.A.) equivalente?
Con i_a = i_v/(1+i_v) = 0,20/1,20 = 16,67% S.A.; usar i_v/(1−i_v) = 0,20/0,80 = 25,00% aplica por error la fórmula inversa, la que convierte de anticipada a vencida, y 20,00% supone que ambas tasas son iguales. (Matemática financiera estándar — equivalencia de tasas de interés (nominal, efectiva anual, anticipada y vencida).)
25. Una operación de crédito se pacta a 18% N.A.T.V. (nominal anual trimestre vencido). ¿Cuál es la tasa efectiva anual (E.A.) equivalente?
El 18% N.A.T.V. se divide entre los 4 periodos trimestrales del año (4,5% T.V.) y se capitaliza: (1,045)^4 − 1 = 19,25% E.A.; capitalizar con 12 periodos mensuales en lugar de 4 trimestrales produce 19,56% E.A., un error frecuente de periodicidad, y 4,50% es apenas la tasa de un trimestre. (Matemática financiera estándar — equivalencia de tasas de interés (nominal, efectiva anual, anticipada y vencida).)
26. Una operación se indexa a DTF + 1,5%, con la DTF vigente en 5,20% T.A. (trimestre anticipado). Sabiendo que el spread se expresa en los mismos términos de capitalización nominal que la DTF, la tasa nominal total resultante es de:
Como el spread y la DTF están expresados en los mismos términos nominales (T.A.), basta con sumarlos: 5,20% + 1,5% = 6,70% T.A.; esa suma sigue siendo una tasa nominal anticipada, no una tasa efectiva anual, hasta completar la conversión. (Banco de la República — Resolución Externa 17 de 1993 (definición y publicación de la DTF).)
27. El Indicador Bancario de Referencia (IBR) se publica en términos de tasas nominales, con periodos de capitalización mes vencido, trimestre vencido o semestre vencido. Para sumar correctamente el spread de una operación indexada al IBR con la tasa IBR vigente, es necesario que:
Como la tasa IBR se publica en términos nominales (M.V., T.V. o S.V.), el spread debe expresarse en esos mismos términos para poder sumarse linealmente en una operación indexada al IBR. (Banco de la República — esquema del Indicador Bancario de Referencia (IBR).)
28. Una operación se pacta a IBR + 6,5% T.V. (trimestre vencido), con el IBR vigente en 4,115% nominal mes vencido (M.V.). Siguiendo la metodología estándar, que exige convertir el IBR a términos trimestre vencido antes de sumar el spread y luego capitalizar el resultado a un año, la tasa efectiva anual aproximada de la operación es:
Convirtiendo el IBR de 4,115% M.V. a términos trimestre vencido (4,1291% N.T.V.) y sumando el spread de 6,5% T.V. se obtiene 10,6291% N.T.V., que capitalizado a un año da 11,06% E.A.; detenerse en la tasa nominal total (10,63%) omite el último paso de capitalización. (Banco de la República — esquema del Indicador Bancario de Referencia (IBR).)
29. Una factura electrónica negociada en la Bolsa Mercantil de Colombia se valora aplicando la convención de base 365 días. Si faltan 76 días para su vencimiento y la tasa de descuento pactada es 5,48% E.A., ¿cuál de las siguientes expresiones corresponde al factor de descuento por el que debe dividirse el valor de vencimiento para obtener el precio de hoy?
Con la convención base 365 se descuenta el número exacto de días dividiendo por el factor (1 + i)^(días/365), es decir (1 + 5,48%)^(76/365); invertir el exponente (365/76) o usar base 360 no corresponde a la convención declarada en el enunciado. (Matemática financiera estándar — equivalencia de tasas de interés (nominal, efectiva anual, anticipada y vencida).)
30. Una operación pactará doce pagos mensuales vencidos de COP$2.000.000 cada uno, a una tasa del 2% mensual, pero el primer pago se realizará dentro de tres meses, es decir, con dos meses de gracia adicionales antes de que inicie la anualidad ordinaria. El valor presente de esta anualidad diferida en el periodo cero es aproximadamente:
El valor presente de la anualidad ordinaria de 12 pagos de $2.000.000 al 2% mensual es $21.150.682 y queda ubicado un mes antes del primer pago, es decir, en el mes 2; al descontarlo dos meses adicionales al 2% mensual se obtiene $20.329.376, mientras que descontar tres meses (COP$19.930.760) desplaza el resultado un periodo de más. (Matemática financiera estándar — anualidades (valor presente y valor futuro de anualidades ordinarias y diferidas).)
31. Un flujo de pagos contempla que durante los primeros seis meses no se realice ningún retiro y que los retiros mensuales vencidos empiecen a partir del séptimo mes. Este flujo se identifica correctamente como un caso de:
Si los retiros inician en el mes 7, los meses 1 a 6 son de gracia, es decir, 6 periodos de diferimiento, pues el número de periodos de gracia es siempre uno menos que el periodo del primer pago. (Matemática financiera estándar — anualidades (valor presente y valor futuro de anualidades ordinarias y diferidas).)
32. Una operación reconoce una tasa nominal del 24% N.A.M.V. (nominal anual mes vencido). Se realizarán 6 depósitos mensuales vencidos de COP$1.000.000 cada uno, pero el primer depósito solo se hará dentro de 4 meses. ¿Cuál es la tasa periódica mensual que debe emplearse para valorar esta anualidad diferida?
Una tasa nominal anual mes vencido (N.A.M.V.) se convierte a periódica dividiendo entre los 12 periodos del año: 24%/12 = 2% M.V.; tratar el 24% como si fuera una tasa efectiva anual para hallar la periódica equivalente (1,81%) confunde el tipo de tasa declarado en el enunciado. (Matemática financiera estándar — anualidades (valor presente y valor futuro de anualidades ordinarias y diferidas).)
33. En una anualidad diferida con periodo de gracia de 12 meses, se reduce el periodo de gracia a la mitad, sin modificar el monto de los pagos ni la tasa de interés pactada. El efecto correcto sobre el valor presente en el periodo cero es que:
Al reducir el periodo de gracia, los pagos se descuentan durante menos periodos, por lo que su valor presente aumenta; el número y el monto de los pagos no cambian, solo el momento en que empiezan. (Matemática financiera estándar — anualidades (valor presente y valor futuro de anualidades ordinarias y diferidas).)
34. Un analista descuenta los flujos de un proyecto a la tasa de oportunidad exigida por el inversionista y obtiene un VPN exactamente igual a cero. Según el criterio de decisión del VPN, esto significa que el proyecto:
Cuando el VPN es igual a cero, el proyecto rinde exactamente la tasa exigida, por lo que el criterio de decisión ordena aceptarlo; no procede rechazarlo 'por precaución' ni exigir un cálculo adicional de TIR. (Matemática financiera estándar — Valor Presente Neto (VPN).)
35. Un analista de una sociedad comisionista de la Bolsa Mercantil de Colombia evalúa una alternativa de inversión cuyos flujos de caja netos, descontados a la tasa de oportunidad exigida, arrojan un VPN de COP$ -8.500.000. Según el criterio de decisión del VPN, ¿qué conclusión corresponde respecto de esta alternativa?
Un VPN negativo indica que el proyecto rinde por debajo de la tasa mínima exigida, por lo que el criterio de decisión ordena rechazarlo; el signo negativo no refleja la inversión inicial, pues esta ya está incorporada en el cálculo. (Matemática financiera estándar — Valor Presente Neto (VPN).)
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